Wie konstruiert man Dreipässe?

Zur Definition eines Dreipasses schreibt Günther Binding: "Ein Dreipass liegt vor, wenn den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks jeweils ein Halbkreis angefügt ist." (Binding [1989], S. 14)

Aus dieser Definition kann man schon direkt die Konstruktionsvorschrift entnehmen. Wenn man also ein gleichseitiges Dreieck gegeben hat, lassen sich leicht Halbkreisbögen darüber konstruieren. Damit ist der Dreipass schon konstruiert.

Abb. 10a: einfacher Dreipass Abb. 10b: Dreipass einem Kreis einbeschrieben

Schwierig wird es aber dann, wenn man den Dreipass einem vorgegebenen Kreis einbeschreiben will. Wie groß muss man das Dreieck wählen, damit der Dreipass genau den äußeren Kreis berührt?

Abb. 11: Konstruktion eines Dreipasses in einen Kreis

Da man das Dreieck aus seinem Umkreis konstruieren kann, konstruiert man zunächst diesen. Man muss dazu einen Zusammenhang zwischen dem Radius des äußeren blauen Kreises (R) und des roten Umkreises (r) finden. Dann kann man den Dreipass konstruieren.

Hierzu nutzen wir aus, dass der Umkreismittelpunkt A in diesem Fall auch gleichzeitig der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist, da das Dreieck gleichseitig ist. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese immer im Verhältnis 2:1. Daher weiß man, dass die Strecke genau die Hälfte der Strecke , also des Radius r des roten Kreises, ist.

Wenn man den Radius des grünen Kreises mit r' bezeichnet, kann man R schreiben als:

(1)

Wenn man sich nun das grau markierte rechtwinklige Dreieck KAM anschaut, gilt nach Pythagoras folgende Beziehung zwischen r und r':

Aufgelöst nach r' ergibt das:

Wenn man das in (1) einsetzt erhält man:

Dass man diesen Term geometrisch auswerten kann, zeigen die beiden Applets auf der Seite: Kann man gotische Kirchenfenster rekonstruieren?

Übung: Sie können den angegebenen Term geometrisch auswerten und den Dreipass damit konstruieren. Die Konstruktion ist aber recht aufwendig!

Diese Art der Konstruktion ist allerdings recht kompliziert. Außerdem erkennt man beim Betrachten verschiedener Dreipässe in gotischen Kirchen, dass es sich selten um echte Halbkreise handelt, die über den Seiten des Dreiecks konstruiert sind. Folgendes Cinderella-Applet verdeutlicht eine andere Konstruktionsmöglichkeit.

Cinderella-Applet 5: Konstruktion von Dreipässen

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